2.3 pwm ac/dc變流器離散時(shí)間、線性時(shí)變模型
該模型是建立在dq同步坐標(biāo)系[6]或αβ靜止垂直坐標(biāo)系[7]下的離散時(shí)間，線性時(shí)變模型，它實(shí)際上是把pwm ac/dc變流器描述為分段線性時(shí)變模型，將開關(guān)變化的時(shí)變函數(shù)列入到狀態(tài)變量線性方程的系數(shù)部分。
下面討論該模型的建立。首先考慮無窮大電網(wǎng)通過平衡三相阻抗連接一個(gè)理想pwm ac/dc變流器的情況，如圖2所示:
dq坐標(biāo)系中id和iq可由下式表示:
圖2 簡化直流供電系統(tǒng)示意圖
(23)
(24)
與三相相電壓線電流相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系式為:
，
，
(25)
其中:
理想情況下
，即 
，
,對(duì)直流側(cè)電容正極節(jié)點(diǎn)應(yīng)用kcl定律得:
即: 
(26)
考慮到實(shí)際情況下pwm ac/dc變流器有損耗，可近似認(rèn)為損耗分為兩部分，一部分隨電流的平方值變化，由電感電阻r代表，另一部分認(rèn)為不變，用電容并聯(lián)電阻rdc代表。
實(shí)際變流器的開關(guān)頻率是有限的，因此比損耗更重要的是考慮變流器端口電壓的建模問題。最直接的方法是在dq坐標(biāo)系中采用時(shí)間平均理論[8]，因此采樣間隔t=nt到t=(n+1)t中的端口電壓可由下式近似表示:
(27)
k為變流器特性常數(shù)，
分別是d，q軸占空比，并滿足以下約束條件:
。將(27)代入(23)(24)(26)，并引入狀態(tài)變量:
，可得離散時(shí)間，線性時(shí)變模型:
(28)
其中:
， 
，
在一個(gè)采樣周期中均保持不變，并作用于矩陣a(n)t，因而該模型能較好地反映pwm ac/dc變流器開關(guān)的離散時(shí)間、線性時(shí)變特性，并可在適當(dāng)近似處理后用于指導(dǎo)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]引入開關(guān)函數(shù)和空間矢量的概念，建立αβ靜止垂直坐標(biāo)系下的離散時(shí)間，線性時(shí)變模型，并增加反映系統(tǒng)電壓幅值相位的變量z1,z2構(gòu)成增廣矩陣微分方程，可以反映出交直流系統(tǒng)之間的諧振問題。由于nw并不是該系統(tǒng)的輸入變量(i1是負(fù)載電流)，并且基波正弦變量已經(jīng)變成dq坐標(biāo)系中的直流變量，故該模型也能解釋穩(wěn)態(tài)情況下諧波對(duì)基波的影響。同樣由于nw并非系統(tǒng)輸入，因此式(28)給出的離散時(shí)間，線性時(shí)變模型并沒有給出輸入變量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系，用于數(shù)字控制器設(shè)計(jì)是不夠的。為此可合理假設(shè)直流側(cè)電容足夠大，在一個(gè)采樣周期中電壓保持不變，并對(duì)式(28)作一些相應(yīng)的近似處理，就可以得到系統(tǒng)輸入變量
與狀態(tài)變量x之間的關(guān)系，從而能夠方便的進(jìn)行數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)。因?yàn)橹饕糜谥笇?dǎo)數(shù)字控制器設(shè)計(jì)，因此在進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)或仿真時(shí)，控制量的給定切換時(shí)間或仿真速度都取決于采樣周期的大小。
2.4 pwm ac/dc變流器的拉格朗日模型
該模型采用分析力學(xué)思想，從能量觀點(diǎn)描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，即定義拉格朗日函數(shù)
為:
(29)
其中
描述電路系統(tǒng)的磁能，描述電路系統(tǒng)的電場能量，
和
分別表示電荷和電流。pwm ac/dc變流器如圖1所示，考慮el=0的情況，相應(yīng)的el(euler-lagrange)函數(shù)參數(shù)為:
(30)
(31)
(32)
(33)
其中d,f分別描述系統(tǒng)電阻耗能和外加電壓力， 
是式(1)定義的開關(guān)函數(shù)。這幾個(gè)參數(shù)反映了pwm變流器的拉格朗日動(dòng)態(tài)特性。由el方程:
(34)
定義
，將(29)代入(34)，重寫得到一組
坐標(biāo)系下的標(biāo)量微分方程:
(35)
(36)
(37)
(38)
將(30)～(33)代入化簡得到:
(39)
(40)
(41)
(42)
考慮到
，直流側(cè)電壓
，代入(39)～(42)，并寫成矩陣形式有:
(43)
其中:
，
，
m是正定矩陣，r是耗散矩陣，j是表征開關(guān)之間相互聯(lián)系的矩陣，f是電壓源向量。上述模型由于含有表征開關(guān)行為的開關(guān)函數(shù)
而出現(xiàn)了狀態(tài)空間的非連續(xù)項(xiàng)，為此用時(shí)間平均分析法[8]將式(43)中的狀態(tài)變量用平均狀態(tài)向量替換，開關(guān)函數(shù)sk用占空比函數(shù)dk(取值范圍[0，1])替換，即可得到狀態(tài)空間平均模型。式(43)描述的數(shù)學(xué)模型與用根據(jù)基爾霍夫定律列寫電路方程得到的傳統(tǒng)模型是一致的[11][12]。
從能量角度出發(fā)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，系統(tǒng)能量守恒方程為:
(44)
式中
是系統(tǒng)的總能量函數(shù)，(44)表示系統(tǒng)儲(chǔ)能
加上系統(tǒng)耗散能量
等于系統(tǒng)供給能量
，反對(duì)稱矩陣j是無功力。根據(jù)無源性理論[13][14]，在輸入不變的情況下，設(shè)計(jì)控制器根據(jù)狀態(tài)變量誤差改變阻尼系數(shù)r即可改變系統(tǒng)耗散能量，從而改變系統(tǒng)總能量，最終達(dá)到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。
由于該模型采用分析力學(xué)思想從能量觀點(diǎn)描述系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，能夠解釋pwm ac/dc系統(tǒng)的部分非線性動(dòng)力學(xué)行為，但模型仍采用理想開關(guān)描述電力電子器件，同時(shí)仍然沒有考慮高頻部分的能量流動(dòng)，因此，將其用于分析高頻域非線性動(dòng)力學(xué)行為的能力有限。采用該模型有利于從能量觀點(diǎn)分析和設(shè)計(jì)控制控制器，控制目標(biāo)著眼于使初始狀態(tài)與給定狀態(tài)之間誤差模型的能量衰減到零，以達(dá)到系統(tǒng)狀態(tài)過渡到給定狀態(tài)的目的:控制手段是調(diào)節(jié)注入阻尼大小，因此具有響應(yīng)速度快，調(diào)節(jié)方便的優(yōu)點(diǎn)，近來被廣泛應(yīng)用于控制器設(shè)計(jì)。從設(shè)計(jì)控制器角度來看，給定控制量切換的最小時(shí)間是一個(gè)開關(guān)周期。
3 結(jié)束語
本文較為詳細(xì)的介紹了pwm ac/dc變流器的四種建模方法，以此為基礎(chǔ)分別分析了各種建模方法的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用場合，并根據(jù)不同的應(yīng)用角度提出了各模型控制量的切換時(shí)間尺度δ:開關(guān)函數(shù)模型主要用于開關(guān)時(shí)刻波形仿真，δ定位于開關(guān)控制時(shí)刻:占空比函數(shù)模型用于控制器設(shè)計(jì)時(shí)δ定位于一個(gè)開關(guān)周期，用于間接電流控制時(shí)δ定位于一個(gè)交流頻率周期:離散時(shí)間、線性時(shí)變模型用于數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)仿真，δ為一個(gè)采樣周期:拉格朗日模型也是主要用于控制器設(shè)計(jì)，與占空比函數(shù)模型類似，δ定位于一個(gè)開關(guān)周期?？傊?， 主要取決于模型的用途。從應(yīng)用角度來講這幾種模型結(jié)合起來可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行諧波分析，低頻域非線性動(dòng)力學(xué)行為分析和控制器設(shè)計(jì)指導(dǎo)的要求，但為了方便控制器的設(shè)計(jì)及波形方針和諧波分析，這幾種模型都采用了開關(guān)過程理想化的近似手段簡化分析，因而它們都不適合用于分析高頻域非線性動(dòng)力學(xué)行為。因此，建立適合高頻域非線性動(dòng)力學(xué)行為分析的模型的主要難點(diǎn)在于如何從動(dòng)力學(xué)行為上更為近似的描述開關(guān)過程，即在模型中盡可能保留開關(guān)過程的非線性動(dòng)力學(xué)行為特征，同時(shí)又不能過于復(fù)雜，以至于難以進(jìn)行物理數(shù)學(xué)分析，這是一個(gè)有待解決的問題。
：鞏經(jīng)理
：13915946763
：南京塞姆泵業(yè)有限公司
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