控制理論與應(yīng)用輸入力矩受限的機器人魯棒自適應(yīng)跟蹤控制黃春慶h2，王興貴2，王祖光2（1.上海交通大學(xué)自動化系，上海20030；2.軍械工程學(xué)院一系火炮教研室，河北石家莊，050003）實值時，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定跟蹤；當有干擾存在，常規(guī)參數(shù)估計自適應(yīng)控制算法不能實現(xiàn)穩(wěn)定控制時，本算法仍然使系統(tǒng)穩(wěn)定。在本算法中，所估計的參數(shù)在跟蹤控制律前饋項中表現(xiàn)為非線性，這是區(qū)別于常規(guī)參數(shù)估計自適應(yīng)算法的一個最重要特征。因此本算法控制器的設(shè)計更有靈活性，另一方面獲得更好的控制品質(zhì)和魯棒性，特別是對參數(shù)域估計誤差即參數(shù)范圍估計錯誤的強魯棒性，均為仿真算例所驗證。
基金項目：教育部高校青年骨干教師基金資助項目。
迄今為止，幾乎所有控制器設(shè)計都建立在關(guān)節(jié)驅(qū)動器能產(chǎn)生任意力矩的基礎(chǔ)上；而實際上受物理條件限制，驅(qū)動器的輸出力矩是有限的，這樣的控制器可能導(dǎo)致控制失敗或控制品質(zhì)的惡化。因此控制器的設(shè)計必須考慮到關(guān)節(jié)驅(qū)動器的有限驅(qū)動能力。
對于諸如搬運作業(yè)的機器人，有些參數(shù)是不確定或者不可知的，基于估計參數(shù)自適應(yīng)控制是處理此類問題的主要控制策略之利用機器人動力學(xué)方程的線性參數(shù)化性質(zhì)，通過一個積分運算估計機器人參數(shù)。由于積分環(huán)節(jié)的作用，在持續(xù)干擾條件下，控制系統(tǒng)不容易穩(wěn)定。因此適當限制或調(diào)整積分環(huán)節(jié)的作用是實現(xiàn)自適應(yīng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的一個有效手段。最早由lozano和brogliato提出投影算法（proectionalgorithm），能夠把估計參數(shù)限制在所規(guī)定的范圍（包含參數(shù)真實值）內(nèi)，從而提高了自適應(yīng)控制系統(tǒng)的魯棒性。但這種算法由6個開關(guān)組成，略嫌復(fù)雜，而且當真實參數(shù)不在所規(guī)定的范圍內(nèi)時，它不能給出系統(tǒng)控制品質(zhì)及魯棒性等信息?？紤]關(guān)節(jié)驅(qū)動器的有限驅(qū)動力矩的定點控制（setpointcontrol）問題，利用投影算法，研究了基于精確數(shù)學(xué)模型的全局狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋自適應(yīng)控制器；而對于軌跡跟蹤問題，研究了未知參數(shù)情況下全狀態(tài)反饋（full-statefeedback）的自適應(yīng)控制問題和基于精確模型的輸出反饋（outputfeedback）的自適應(yīng)控制問題。
本文提出一種簡單的魯棒自適應(yīng)控制算法，當估計參數(shù)域包含參數(shù)真實值時，閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)漸近穩(wěn)定跟蹤；當存在干擾或估計參數(shù)域不包含參數(shù)真實值即有估計誤差時，系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的。
質(zhì)，利用這些性質(zhì)改進控制律，提高實時性。
數(shù)向量t；）的集合及參數(shù)集并滿足下列條件其中xgi.丨表示絕對值。為簡單起見，假設(shè)即函數(shù)向量由3個標at參數(shù)決定，仍記為。z（m，￡，0，這是中所介紹的一個函數(shù)集。連續(xù)可導(dǎo)遞增函數(shù)如arimoto正弦函數(shù)、正切雙曲函數(shù)、歸一化函數(shù)和飽和函數(shù)等。
2.2關(guān)于機器人的動力學(xué)方程（robotdynamics）不考慮摩擦和外加干擾，"個回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)機器人的動力學(xué)方程為4）々，（；（<）和re"分別表示離心科氏力、重力和控制輸人。
本文僅考慮回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機器人系統(tǒng)，具有如下幾個特性：其中丨（amhl）表示最小（最大）矩陣特征值，kiv是一個正的常數(shù)。
或p3）對于所有的rw，。t，y，znbsp，存在正的常數(shù)n，c2，使得p5）存在連續(xù)可導(dǎo)的遞增函數(shù)向m其中sn，使得其中關(guān)節(jié)角誤差=，心表tt；期望關(guān)節(jié)軌跡，均為正的常數(shù)，為正定的對角矩陣，m，c（-，），（t是已知參數(shù)0的動力學(xué)方程部分；向量satd（幻如所示，以。）及以）為連續(xù)可導(dǎo)的遞增函數(shù)向量，bp其中定常向量tt使得外gs，e卩（近似為）注2可以看出，設(shè)計魯棒自適應(yīng)控制器時，適當選擇式（23）中的參數(shù)7t的前提條件是參數(shù)的估計域s，也就是參數(shù)知的大致變化范圍。
從式（20），（23）看出，初始參數(shù)d（0）可以是任意的。不妨選擇；r=以0），因為通常認為初始參數(shù)d在其真實值知附近的一個鄰域。只要（叫）；（￡9），足夠大，總能讓e s成立當（叫），―時，等同于普通自適應(yīng)控制算法。為表述方便，假定kp=kpi，kv利用性質(zhì)p6），控制律（19）可寫為r=得到閉環(huán)系統(tǒng)的動力學(xué)方程mq）q其中由于是連續(xù)可導(dǎo)遞增函數(shù)向量，可見屮也是；但平（幻可能不滿足定義中所有的條件，除非兀在不等式（25）的條件下，存在一正定的標量函數(shù)使得同樣地，定義另一正定標量函數(shù)：顯然定理考慮機器人的動力學(xué)方程（1），假設(shè)存在正的常數(shù)a，y，常向量；r及函數(shù)向量s（w，以），正定的條件是4ac - >0那么條件②意味著綜上所述，由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及l(fā)asalk‘不變集原理，定理得證。
注3控制力矩的上界為simubbbb工具箱，將魯棒自適應(yīng)算法與常規(guī)自適=9）的結(jié)果在干擾存在的情況。下進行比較；另外還比較魯棒自適應(yīng)算法中的兩個不注意：在估計參數(shù)域包含真實參數(shù)值時，雖然投影算法也能保證估計參數(shù)的有界性；但是，當上述條件未滿足時，就得不到有關(guān)閉環(huán)系統(tǒng)的如穩(wěn)定性、魯棒性信息。另外該算法由6個開關(guān)組成，顯得復(fù)雜。本文的算法很簡單，最簡單的是應(yīng)用飽和函數(shù)。當札e s時，可把動力學(xué)方程看作其中d0u）=（々，4，g）（0-0丨），空專0丨名。也就是說把參數(shù)估計域的誤差當作一個干擾辦（。適當?shù)卣刂破鞯膮?shù)，魯棒自適應(yīng)控制器仍然使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，雖然并非漸近穩(wěn)定的。
或=0，并非=札。
由魯棒自適應(yīng)控制律（19），可見，估計參數(shù)奴在前饋項中表現(xiàn)為非線性的，這正是與常規(guī)自適應(yīng)算法的最重要的區(qū)別。因此，式（20）中所估計的參數(shù)，對閉環(huán)系統(tǒng)來說，其本質(zhì)上不再是一個參數(shù)，超出參數(shù)辨識自適應(yīng)算法的概念。函數(shù)向量sats）的不同選擇，體現(xiàn)了魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)施的靈活性，使系統(tǒng)的控制品質(zhì)和魯棒性的提高成為可能。
本算例是兩關(guān)節(jié)機器人搬運物體，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)對正弦-余弦（頻率。7=1hz，幅值4=2rad）軌跡的跟蹤控制。機器人如，其參數(shù)為相應(yīng)機器人動力學(xué)方程的物理參數(shù)如下：參數(shù)初始估計值=1，其中4 =4，c2為幅值2rad、頻率1hz的方波。
選擇時，方案2當參數(shù)估計域s為時，128矣久矣18，魯棒自適應(yīng)控制兩種方案系統(tǒng)均是穩(wěn)定的。
2/+逝駑駕-瀘-（a）關(guān)軌跡盆￠）⑴（b）估汁參數(shù)0常規(guī)a適應(yīng)控制算法的仿真結(jié)果干擾條件下不同魯棒自適應(yīng)算法仿真結(jié)果比較——方案1――方案2（b>參數(shù)估汁值的函數(shù)satg（->在考慮有限關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩和機器人參數(shù)不確定的條件下，本文提出新的魯棒自適應(yīng)控制算法。當參數(shù)估計域包含真實參數(shù)時，閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)關(guān)節(jié)空間軌跡的漸近跟蹤；當參數(shù)估計域不包含真實參數(shù)時，閉環(huán)系統(tǒng)仍然是有界穩(wěn)定的。與投影算法相比較，本文的算法簡單易行，更具控制器設(shè)計的靈活性；同時本算法解決了干擾條件下自適應(yīng)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。所有這些在仿真算例中得到驗證。
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