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直齒圓柱齒輪是機(jī)械傳動(dòng)中的重要零件，其齒根應(yīng)力的大小將直接影響輪齒的承載能力和壽命?，因此齒根的彎曲應(yīng)力計(jì)算是齒輪強(qiáng)度設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。通常對(duì)齒根應(yīng)力大小的分析是用理論公式進(jìn)行計(jì)算，但理論公式比較復(fù)雜，還要查一些修正值，因而使用起來非常繁瑣；如果用SolidWorks的插件COSMOSWorks對(duì)輪齒彎曲應(yīng)力進(jìn)行仿真分析，不僅其仿真值與理論計(jì)算值十分接近，完全滿足機(jī)械設(shè)計(jì)的要求，而且分析非常便捷，從而為齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 問題的提出

已知一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)，傳遞功率P=-4kW，Z1=30，m1=960r／min，Z2=90，大小齒輪材料皆為40Cr，小齒輪表面淬火HRC40~56，大齒輪調(diào)質(zhì)處理，硬度HBS300，試分析大齒輪的齒根彎曲應(yīng)力。

2 直齒圓柱齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

計(jì)算輪齒的彎曲應(yīng)力時(shí)，通常將齒輪看作是一個(gè)寬度為b的懸臂梁，如圖1所示。因此，齒根處為危險(xiǎn)截面，它可以用30°切線法確定：作與輪齒對(duì)稱線成300角并與齒根過渡曲線相切的切線，通過兩切點(diǎn)平行于齒輪軸線的截面，即齒根危險(xiǎn)截面。

圖1 齒根危險(xiǎn)截面

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)全部載荷由一對(duì)輪齒來承擔(dān)并作用在齒頂上，同時(shí)不計(jì)摩擦力的影響。沿嚙合線方向作用于齒頂?shù)姆ㄏ蛄n，可分解為互相垂直的2個(gè)分力：FncosαF和FnsinαF。前者使齒根產(chǎn)生彎曲應(yīng)力σb和切應(yīng)力τ，后者使齒根產(chǎn)生壓應(yīng)力σc。與彎曲應(yīng)力σb相比，切應(yīng)力τ和壓應(yīng)力σc均很小，故計(jì)算時(shí)不予考慮。輪齒長(zhǎng)期工作后，受拉側(cè)先產(chǎn)生疲勞裂紋，因此齒根彎曲疲勞計(jì)算應(yīng)以受拉側(cè)為計(jì)算依據(jù)。齒根最大彎曲應(yīng)力

3直齒圓柱齒輪三維建模

盡管利用SolidWorks設(shè)計(jì)庫(kù)里"Toolbox＼ISO＼動(dòng)力傳動(dòng)、齒輪"的模塊，可以快速地生成齒輪的三維模型，但生成的齒廓曲線不是標(biāo)準(zhǔn)漸開線，顯然對(duì)其輪齒進(jìn)行有限元分析精度很難得到保證。簡(jiǎn)單的方法是利用CAXA電子圖板里的齒輪繪制模塊，首先按照表1輸入齒輪的齒數(shù)z、模數(shù)m、齒頂高系數(shù)h*、頂隙系數(shù)c*和變位系數(shù)x等參數(shù)后，生成標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒形圖，將其另存為dwg或dxf格式文件，然后在SolidWorks中打開上述文件，在"DXF／DWG"對(duì)話框中，選擇"輸入到新零件(P)"按鈕，單擊"完成"，即可生成齒輪草圖，最后進(jìn)行"拉伸"(齒寬為45mm)和"拉伸，切除"(齒輪安裝孔直徑為40mm)，完成齒輪的三維建模，如圖2所示。

圖1 齒輪三維建模

4 基于COSMOSWorks的齒根應(yīng)力分析

齒輪三維模型建成后，就可直接在SolidWorks中單擊"COSMOSWorks管理程序"按鈕，對(duì)齒輪進(jìn)行有限元分析。COSMOSWorks齒根應(yīng)力分析步驟如圖3所示。

圖3 齒根應(yīng)力分析步驟

4.1建立一個(gè)靜態(tài)分析項(xiàng)目

在"COSMOSWorks管理程序"里，右鍵單擊"齒輪"圖標(biāo)，在彈出的菜單中選擇"算例"，"網(wǎng)格類型"選擇為"實(shí)體網(wǎng)格"，"類型"選擇為"static(靜態(tài))"，單擊"確定"按鈕完成算例項(xiàng)目的創(chuàng)建。

4.2 定義齒輪材料

單擊"應(yīng)用材料到所選零部件"圖標(biāo)，彈出的"材料"屬性管理器，在"選擇材料來源"欄中選擇"自定義"，根據(jù)表2輸入各項(xiàng)參數(shù)，"模型類型"選擇為"線性彈性同向性"。

4.3定義約束

單擊"約束"圖標(biāo)，彈出的"約束"屬性管理器，選擇約束"類型"為"固定"，選擇圖2中的齒輪鍵槽面為約束面。

4.4施加栽荷

為了在齒頂上施加嚙合力，需在齒輪實(shí)體上建立一個(gè)過齒頂線且與基圓相切的基準(zhǔn)面，然后單擊"載荷"圖標(biāo)，彈出"力"屬性管理器，在"類型"上選擇"應(yīng)用力、力矩"，在"力的面、邊線、頂點(diǎn)"上選擇齒頂線，在"方向的面、邊線、基準(zhǔn)面、基準(zhǔn)軸"中選擇上述基準(zhǔn)面，在"沿基準(zhǔn)面方向1"中設(shè)置力的大小為1882．41N(法向力大小計(jì)算見4．2節(jié))，在"沿基準(zhǔn)面方向2"和"沿基準(zhǔn)面方向3"中不設(shè)置力的大小，單擊"確定"按鈕，完成載荷施加。

4．5劃分網(wǎng)格

單擊"網(wǎng)格"圖標(biāo)，彈出的"網(wǎng)格"屬性管理器。COSMOSWorks可根據(jù)零件情況自動(dòng)劃分網(wǎng)格的形狀及大小，這里采用四面體單元格，網(wǎng)格大小為8．36mm，誤差為0．418mm，共劃分33788個(gè)單元格，54383個(gè)節(jié)點(diǎn)。

4.6分析計(jì)算

以上參數(shù)設(shè)置完成后，單擊"運(yùn)行"圖標(biāo)，系統(tǒng)開始分析計(jì)算并彈出運(yùn)行進(jìn)展顯示框。由于COSMOSWorks采用獨(dú)有的快速有限元技術(shù)(FFE)和精確計(jì)算技術(shù)，其分析計(jì)算的速度比較快。靜態(tài)分析運(yùn)行成功后，COSMOSWorks將在管理器中生成"結(jié)果"文件夾，含有"應(yīng)力"、"位移"、"應(yīng)變"和"變形"等圖標(biāo)。

4.7 結(jié)果顯示

輪齒應(yīng)力分布云圖如圖4所示，圖形的顏色變化反映了齒輪內(nèi)部應(yīng)力的分布情況。從圖中可以看出，最大應(yīng)力發(fā)生在輪齒受拉側(cè)的齒根處，為97．2N／mm2；而在輪齒的另一側(cè)，齒根處受壓，最大壓應(yīng)力為-22．6N／mm2，顯然遠(yuǎn)小于拉應(yīng)力，故輪齒受拉側(cè)先產(chǎn)生疲勞裂紋。

圖4 輪齒應(yīng)力分布云圖

5齒根彎曲應(yīng)力的理論計(jì)算

5.1齒輪工作轉(zhuǎn)矩的計(jì)算

由于齒輪傳遞功率P=4kW，n1=960r／min，則齒輪工作轉(zhuǎn)矩T1為：T1=9550000P/n1

將已知數(shù)據(jù)代入式(2)求出T1=39800N·mm。

5．2齒輪嚙合時(shí)法向力R的計(jì)算

根據(jù)齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性可知，齒輪在嚙合過程中，法向力R的大小與方向不變，因而輪齒在齒頂處的法向力可由節(jié)點(diǎn)處的法向力求出。

Fn=2T1/d1cosa(3)

式中：a為分度圓壓力角。將T1和已知條件代入式(3)，得Fn=1882．41N。

5．3驗(yàn)算輪齒彎曲應(yīng)力及討論

查表得Yp=3．75(Z=90，x=0)，ψd=1，為了與COSMOSWorks仿真條件相同，這里不考慮載荷集中和動(dòng)載荷的影響，即Kβ=1，Kv=1代入式(1)得齒根處最大彎曲應(yīng)力σF=98．3N／mm2。而COSMOSWorks的仿真值為97.2N／mm2，誤差為1.1％。這說明：①仿真結(jié)果是正確的；②在齒根彎曲應(yīng)力的理論計(jì)算中，將輪齒假設(shè)為懸臂梁，采用300近似法確定齒根處的危險(xiǎn)截面是合理的，完全滿足機(jī)械設(shè)計(jì)的要求；③由于理論值略大于仿真值，因此理論計(jì)算是略偏于安全的。

上述計(jì)算與仿真都是假設(shè)全部載荷由一對(duì)輪齒來承擔(dān)，即重疊系數(shù)εa=1，根據(jù)重疊系數(shù)計(jì)算公式

可知，實(shí)際重疊系數(shù)占εa=1.75，這表明，在輪齒轉(zhuǎn)過一個(gè)基圓齒距的時(shí)間里，兩對(duì)輪齒同時(shí)嚙合的時(shí)間占75％，此時(shí)齒根處的最大應(yīng)力為48.6N／mm2，即97.2/2N／mm2；而一對(duì)輪齒嚙合的時(shí)間占25％，此時(shí)齒根處的最大應(yīng)力為97．2N／mm2，因此在輪齒嚙合過程中，齒根處最大應(yīng)力達(dá)97．2N／mm2只占整個(gè)嚙合時(shí)間的1／4。

6 結(jié)論

通過齒根彎曲應(yīng)力的有限元分析，為齒輪的強(qiáng)度設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)，也對(duì)齒輪的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)提供重要的指導(dǎo)意義。由于COSMOSWorks具有操作簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快和計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，而且分析的模型與結(jié)果與SolidWorks共享一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，從CAD到CAE無需進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此在機(jī)械零件的設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用前景，也是機(jī)械設(shè)計(jì)人員必備的技能之一。